正方行列 \(A \in M_n(\bk)\) と多項式 \(f(t) = \sum_{k=0}^r c_k t^k\) に対して、 \(f(A) \in M_n(\bk)\) を \(\sum_{k=0}^r c_k A^k\) で定義する。
\(A\) の固有多項式を \(p_A(t)\) で表すと、\(p_A(A)\) は零行列である。
証明には多様な方法が知られている。ここでは余因子行列を用いる方法で証明する。 単純のため、 \(p_A(t)\) は \(A\) を省略して \(p(t)\)、\(I_n\) の \(n\) を省略して \(I\) で表すこととする。
\(p(t)\) の各項の係数を \(c_k\) とする、つまり
\[\begin{equation} p(t) = \sum_{k=0}^n c_k t^k \end{equation}\]である。次に、行列 \(t I - A\) の余因子行列を \(B(t)\) とする。すると余因子行列の性質と \(p(t) = \det(t I - A)\) であることよ
\[\begin{equation} (tI - A)B(t) = p(t) I \end{equation}\]である。次に、\(B(t)\) の各要素はその定義より高々 \(n-1\) 次の多項式なので、\(n\) 個の行列 \(B_0, \ldots, B_{n-1} \in M_n(\bk)\) によって
\[\begin{equation} B(t) = \sum_{k=0}^{n-1} t^k B_k \end{equation}\]と表すことができる。(1)および(3)を(2)に代入すると、
\[\sum_{k=0}^{n-1} t^k (tI - A) B_k = \sum_{k=0}^n c_k t^k I\]左辺は
\[\sum_{k=0}^{n-1} t^k (t I - A)B_k = \sum_{k=0}^{n-1} (t^{k+1} B_k - t^k A B_k) = t^n B_{n-1} + \sum_{k=1}^{n-1} t^k(B_{k-1} - AB_k) - AB_0\]よって、多項式の各係数行列を比較すると、
\[\begin{aligned} c_n I & = B_{n-1} \\ c_k I & = B_{k-1} - AB_k \ \ (k=1, \ldots, n-1) \\ c_0 I &= -AB_0 \end{aligned}\]がわかる(これは右辺はすべて単位行列のスカラー倍であることを意味する)。よって、
\[p(A) = \sum_{k=0}^n c_k A^k = \sum_{k=0}^n A^k (c_k I) = A^n B_{n-1} + \sum_{k=1}^{n-1} A^k(B_{k-1} - AB_k) - AB_0 = (A^n B_{n-1} + A^{n-1}B_{n-2} + \cdots + A B_0) - (A^n B_{n-1} + \cdots + A^2B_1 + AB_0) = O\]よって示された。