となるが、忘れやすいのでのその備忘録。
\(A \in M_{m,n}(\bk)\) とする。
\(A\) を縦ベクトル(\(\in \bk^m\))を横に \(n\) 個並べた表記を
\[A = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_n \end{bmatrix}\]横ベクトル(\(\in \bk^n\))を縦に \(m\) 個並べた表記を
\[A = \begin{bmatrix} \t a_1' \\ \vdots \\ \t a_m' \end{bmatrix}\]とする。
\(n \times n\) の単位行列の \(i\) 行目と \(j\) 行目を入れ替えた行列：
\[P_n(i,j) = \begin{bmatrix} 1 \\ & \ddots \\ && 1 \\ &&& 0 & & & & 1 \\ &&&& 1 & \\ &&&&& \ddots \\ &&&&&& 1 \\ &&& 1 & & & & 0 \\ &&&&&&&& 1 \\ &&&&&&&&& \ddots \\ &&&&&&&&&& 1 \end{bmatrix}\]以下が成立する (\(i < j\) としておく)。
\[AP_n(i,j) = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_n \end{bmatrix} P_n(i,j) = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_{i-1} & a_{j} & a_{i+1} & \cdots & a_{j-1} & a_i & a_{j+1} & \cdots & a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_{j} & \cdots & a_i & \cdots & a_n \end{bmatrix}\] \[P_m(i,j)A = P_m(i,j) \begin{bmatrix} \t a_1' \\ \vdots \\ \t a_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \t a_1' \\ \vdots \\ \t a_{i-1}' \\ \t a_{j}' \\ \t a_{i+1}' \\ \vdots \\ \t a_{j-1}' \\ \t a_i' \\ \t a_{j+1}' \\ \vdots \\ \t a_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \t a_1' \\ \cdots \\ \t a_{j}' \\ \cdots \\ \t a_i' \\ \cdots \\ \t a_n' \end{bmatrix}\]\(n \times n\) の単位行列の \((i, i)\) 成分を \(c\) とした行列、ただし \(c \in \bk \backslash \{0\}\)：
\[Q_n(i, c) = \begin{bmatrix} 1 \\ & \ddots \\ && 1 \\ &&& c \\ &&&& 1 \\ &&&&& \ddots \\ &&&&&& 1 \end{bmatrix}\]次が成立する。
\[AQ_n(i, c) = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_n \end{bmatrix} Q_n(i,c) = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & ca_{i} & \cdots & a_n \end{bmatrix}\] \[Q_m(i, c)A = Q_m(i,c) \begin{bmatrix} \t a_1' \\ \cdots \\ \t a_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \t a_1' \\ \cdots \\ c\t a_i' \\ \cdots \\ \t a_n' \end{bmatrix}\]\(n \times n\) の単位行列の \((i, j)\) 成分を \(c\) とした行列。 \(i \not= j\) である。 \(c = 0\) でもよいが、その場合は単位行列となる(ためあまり意味がない)。
\[R_n(i, j, c) = \begin{bmatrix} 1 \\ & \ddots \\ && 1 & & c\\ &&& \ddots \\ &&&& 1 \\ &&&&& \ddots \\ &&&&&& 1 \end{bmatrix}\]上のように右上に \(c\) が現われるのは、\(i < j\) の場合である。
\(i > j\) の場合は次のように右下に現われる
\[R_n(i, j, c) = \begin{bmatrix} 1 \\ & \ddots \\ && 1 \\ &&& \ddots \\ && c && 1 \\ &&&&& \ddots \\ &&&&&& 1 \end{bmatrix}\]次が成立する。
\[AR_n(i, j, c) = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_n \end{bmatrix} R_n(i,c) = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_j + c a_i & \cdots & a_n \end{bmatrix}\] \[R_m(j, i, c)A = R_m(j, i ,c) \begin{bmatrix} \t a_1' \\ \vdots \\ \t a_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \t a_1' \\ \vdots \\ \t a_j' + c \t a_i' \\ \vdots \\ \t a_n' \end{bmatrix}\]上と下で \(i\) と \(j\) が入れ替わっている、つまり転置行列になっていることに注意。